2023年福建中考数学试题及答案
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．下列实数中，最大的数是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
2．下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）
A．1 B．5 C．7 D．9
4．党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五．将数据1040000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
7．阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；
②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
③作射线，连接，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
8．为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．
根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ）
A．平均数为70分钟 B．众数为67分钟 C．中位数为67分钟 D．方差为0
9．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．3
10．我国魏晋时期数学家刘微在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（ ）
A． B． C．3 D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作，那么出货5件应记作_________．
12．如图，在中，为的中点，过点且分别交于点．若，则的长为_________．
13．如图，在菱形中，，则的长为_________．
14．某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示：
项目 应聘者 | 综合知识 | 工作经验 | 语言表达 |
甲 | 75 | 80 | 80 |
乙 | 85 | 80 | 70 |
丙 | 70 | 78 | 70 |
如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是_________．
15．已知，且，则的值为_________．
16．已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是_________．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）算：．
18．（8分）解不等式组：
19．（8分）如图，．
求证：．
20．（8分）先化简，再求值：，其中．
21．（8分）如图，已知内接于的延长线交于点，交于点，交的切线于点，且
（1）求证：；
（2）求证：平分．
22．（10分）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；
（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由
23．（10分）阅读下列材料，回答问题
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大度远大于南北走向的最大宽度，如图1． 工具：一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的两点，可测得的大小，如图3． 小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度，其测量及求解过程如下：测量过程： （ⅰ）在小水池外选点，如图4，测得； （ⅱ）分别在上测得；测得．求解过程： 由测量知，， ，又①_________， ． 又②_________（． 故小水池的最大宽度为_________． |
（1）补全小明求解过程中①②所缺的内容；
（2）小明求得用到的几何知识是_________；
（3）小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．
要求：测量得到的长度用字母表示，角度用表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）．
24．（12分）已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若，且，求证：三点共线；
（3）小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
25．（14分）如图1，在中，是边上不与重合的一个定点．于点，交于点．是由线段绕点顺时针旋转得到的，的延长线相交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）若是的中点，如图2．求证：
参考答案
一、选择题：本题考查基础知识与基本技能．每小题4分，满分40分．
1．D 2．D 3．B 4．C 5．A 6．B 7．A 8．B 9．A 10．C
二、填空题：本题考查基础知识与基本技能．每小题4分，满分24分．
11． 12．10 13．10 14．乙 15．1 16．
三、解答题：本题共9小题，共86分．
17．本小题考查算术平方根、绝对值、零指数幂等基础知识，考查运算能力．满分8分．
解：原式
．
18．本小题考查一元一次不等式组的解法等基础知识，考查运算能力．满分8分．
解：解不等式①，得．
解不等式②，得．
所以原不等式组的解集为．
19．本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直观、推理能力等．满分8分．
证明：，
即．
在和中，
．
20．本小题考查因式分解、分式的基本性质及其运算、二次根式等基础知识，考查运算能力．满分8分．
解：原式
．
当时，
原式
21．本小题考查角平分线、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、圆的性质、直线与圆的位置关系等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观等，考查化归与转化思想．满分8分．
解：（1）是的切线，
，
即．
是的直径，
．
．
，
，
，
即，
．
（2）与都是所对的圆周角，
．
，
，
．
由（1）知，
，
平分．
22．本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识、创新意识等，考查统计与概率思想、模型观念．满分10分．
解：（1）顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果．
记“首次摸得红球”为事件，则事件发生的结果只有1种，
所以，所以顾客首次摸球中奖的概率为．
（2）他应往袋中加入黄球．
理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：
第二球 第一球 | 红 | 黄① | 黄② | 黄③ | 新 |
红 |
| 红，黄① | 红，黄② | 红，黄③ | 红，新 |
黄① | 黄①，红 |
| 黄①，黄② | 黄①，黄③ | 黄①，新 |
黄② | 黄②，红 | 黄②，黄① |
| 黄②，黄③ | 黄②，新 |
黄③ | 黄③，红 | 黄③，黄① | 黄③，黄② |
| 黄③，新 |
新 | 新，红 | 新，黄① | 新，黄② | 新，黄③ |
|
共有20种等可能结果．
（ⅰ）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
（ⅱ）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
因为，所以，所作他应往袋中加入黄球．
23．本小题考查两点间距离的概念及其度量、角度概念及其度量、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等基础知识；考查抽象能力、空间观念、几何直观、应用意识、创新意识等，考查应用所学知识分析、解决问题的综合实践能力；考查数形结合思想、模型观念等．满分10分．
解：（1）①；②；
（2）相似角形的判定与性质；
（3）测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点，如图，用测角仪在点处测得，在点处测得；
（ⅱ）用皮尺测得．
求解过程：
由测量知，在中，．
过点作，垂足为．
在中，，
即，所以．
同理，．
在中，，
即，所以．
所以．
故小水池的最大宽度为
24．本小题考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、空间观念、几何直观、创新意识等，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等．满分12分．
解：（1）因为抛物线经过点，
所以
解得
所以抛物线的函数表达式为．
（2）设直线对应的函数表达式为，
因为为中点，所以．
又因为，所以解得
所以直线对应的函数表达式为．
因为点在抛物线上，所以．
解得，或．
又因为，所以．
所以
因为，即满足直线对应的函数表达式，所以点在直线上，即三点共线．
（3）的面积为定值，
其面积为2．
理由如下：（考生不必写出下列理由）
如图1，当分别运动到点的位置时，与分别关于直线对称，此时仍有三点共线．设与的交点为，则关于直线对称，即轴．此时，与不平行，且不平分线段，故，到直线的距离不相等，即在此情形下与的面积不相等，所以的面积不为定值．
如图2，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值
又因为中存在面积为定值的三角形，故的面积为定值．
在（2）的条件下，直线对应的函数表达式为；直线对应的函数表达式为，求得，此时的面积为2．
25．本小题考查三角形内角和定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形及直角三角形的判定与性质等基础知识，考查推理能力、空间观念、几何直观、运算能力、创新意识等，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等．满分14分．
解：（1）是由线段绕点顺时针旋转得到的，
，
，
．
，
．
．
，
．
．
（2）设与的交点为，如图1
，
，
，
．
，
，
．
又，
．
，
．
（3）延长交于点，连接，如图2．
，
，
．
是的中点，
．
又，
，
．
，
，
．
由（2）知，，
．
，
，
，
，
即．
，
，
